《数学家讲解小学数学》- 2016.4 - 伍鸿熙
在激发学生对数学产生兴趣的过程中，知识渊博的老师所起的作用无可替代，改变教学方法，重复地说教，或对教学大纲进行改革，都无法做到这一点。
好的数学指的是，能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学。强调数学的基本原则，比如，每个概念必须精确定义，定义构成了逻辑推理的基础；比如，数学表述要精确，在任何时候，什么是已知的、什么是未知的，都要非常清楚；再比如，数学是连贯的，它就像一张编织紧密的挂毯，所有概念和技巧逻辑严密地编织在一起，形成一个统一的整体。
在讨论数的时候，离不开数轴，数轴是一条直线，上面的每一个点都唯一地等同于一个数。虽然自然数这个概念是从记数发展出来的，但是从学习数学的角度来看，对数字有一个几何上的认识很有价值。数学知识的一个特点是抽象性强，很多学生会因此望而生畏。通过数轴，我们就能把连续记数这个很抽象的过程，转化成空间中可以看到的过程，非常直观。在数轴上，我们不仅能找出自然数，还能找到分数、有理数，从而理解这些数的加减乘除。比如，把数字a、b都放在数轴上，得到线段a和线段b，两个拼接起来求长度，就是两个数字相加的结果。
运算法则有一个贯穿的中心思想，就是把复杂问题分解成一个个简单的子问题，这也是研究数学的基本工具。在进行多位计算的时候，把计算过程分解成许多步，每一步都只涉及一位数的计算。搞数学，对一个课题深刻理解后，就可以把许多复杂的过程分解成简单、机械的过程。
老师、家长在给孩子讲运算法则背后的推理时，常常会感觉到这种单调，单调就对了。简单、单调的计算过程，做起来既简单易行，还能为我们节省脑力。给孩子讲授运算法则时，必须同时强调运算法则是单调、不用思考的。
定义是所有数学推理和讨论的基础，定义决定了每个概念都有什么样的性质。有了精确的定义，许多严格的推理就变得可以理解了。分数也是数轴上的点。假设有一个自然数n，我们把0到1之间的线段分成n个相等的部分，那么，n分之一在数轴上，就是0在右边的第一个分点。n分之一的所有倍数，就构成了一列与n有关的等距点。
学习数学的时候，要准确地知道自己在讨论什么内容，这件事跟语言密切相关。
突然使用“最小公倍数”这样的概念，也会给学生的计算过程造成不必要的障碍。比如，有这样一道题，数字有点复杂，但请你放心，不会影响我们的理解。在这道题里，学生要计算，323分之2，加493分之3，结果是多少。如果把两个分母相乘，学生就要用323乘以493，得出159239，分子2和3也要相应地分别乘以493和323，两数相加得到1955，然后才能得到答案，159239分之1955。这还不算完，一般来说，学校老师还会要求学生对答案进行约分，也就是把那个复杂的分数，即分子分母都同时除以17，再约分成9367分之115。
对一个小学六年级的学生来说，这些计算太难了。这样的计算方式，根本没有什么道理、整体性可言。进行分数相加的时候，突然出现最小公倍数的概念，会干扰学生对分数加法的理解。至于得出的答案是不是要约分，也不是什么一定之规。十分之五要约分为二分之一就足够了，分母分子是两位数的时候，约不约分其实并不重要。
讲解分数的时候，我们不能总是让学生面对一位数的分母、一位数的分子，而是要用比较大的数。简单的分数，会使学生习惯性地依赖比喻的方式，不愿意对分数进行抽象理解，这会阻碍了他们之后对代数的理解。如果老师布置的习题中，能够经常出现68分之159，825分之21这样复杂一点分数，而不是简单的分数，学生就无法用比喻的方式去理解分数了，他们进而就会迫切地想要掌握分数的概念及其运算。
老师在教中小学数学知识的时候，不仅要为教学难点做好铺垫，也要适当地向高等数学引申，把中小学数学知识和高等数学统一地衔接在一起。如果老师做不到的话，起码也要保证自己教的知识，不会跟高等数学的知识相悖。这样，学生在学习数学的过程中，才能感觉到，数学是一门有整体性和连贯性的科学，是有理可循的，增强他们学习数学的信心。“数学是由简单明了的事项与逻辑推理的结合而一步一步地构成的，所以，只有学习数学的人注意老老实实地一步一步去理解，并同时记住其要点，以备以后之需用，就一定能理解其全部内容。”
帮助孩子做出一道小学算术题，这不是什么难事。我们给孩子讲分数除法的时候，告诉他，除以一个分数，就是乘以这个分数的倒数，这非常简单，我们脑子里记着的这个公式，能帮助孩子做题。但如果我们要想像伍教授那样，理解数学知识的连贯性，注重连续性的逻辑推导，一步步给孩子讲明白整个小学的数学课程，这也绝不是一件简单的事。
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