五种数学思维-《底层逻辑》

最近看完《底层逻辑》后，发现数学并没有之前那么深奥难明，只要明白数学思维还是不太困难的。

作者最后总结的五种数学思维，我觉得挺有用的，分享给大家

一、从不确定性中找到确定性

第一种思维源于概率论，假如一件事情的成功概率是20%，如果我们把95%定义为成功，那你重复做14次就有95%的概率做成，如果要达到99%的成功概率，那么你需要重复做21次

做1次失败的概率为:1-20%=80%=0.8

重复做n次都失败的概率是:80%"=1-95%=5%=0.05

(重复做n次至少有1次成功的概率是95%，就相当于重复做

n 次、每一次都不成功的概率是 5%)

n=log0.8s~13.42

所以，重复做 14 次，你成功的概率能达到 95%。

如果你要达到 99% 的成功概率，那么你需要重复做 21 次。

那想达到 100%的成功概率呢?对不起，这个世界上没有

所有人想要做成事，都需要一点点运气！

我们经常说“正确的事情，重复做”这其实就是概率论的通俗表述。

二、用动态的眼光看问题

第二种思维源于微积分

那么，到底什么是微积分?

我举个简单的例子。一个物体静止不动，你推它一把，会瞬间产生一个加速度。但有了加速度，并不会瞬间产生速度。当加速度累积一段时间后，才会产生速度。而有了速度，并不会瞬间产生位移。当速度累积一段时间后，才会有位移。

宏观上，我们看到的是位移，但是从微观的角度来看，整个过程是从加速度开始的:加速度累积，变成速度;速度累积，变成位移。这就是积分。

反过来说，物体之所以会有位移，是因为速度经过了一段时间的累积。而物体之所以会有速度，是因为加速度经过了一段时间的累积。位移(相对于时间)的一阶导数是速度，而速度(相对于时间)的一阶导数是加速度。宏观上我们看到的位移，微观上其实是每一个瞬间速度的累积。而位移的导数，就是从宏观回到微观，去观察它的瞬间速度。这就是微分。

那么，微积分对我们的日常生活到底有什么用呢?理解了微积分，你看问题的眼光就会从静态变为动态。加速度累积，变成速度;速度累积，变成位移。其实人也是一样。你今天晚上努力学习了，但是一晚上的努力并不会直接变成你的能力。你的努力得累积一段时间，才会变成你的能力。而你有了能力，并不会马上做出成绩。你的能力得累积一段时间，才会变成你的成绩。而你有了一次成绩，并不会马上得到领导的赏识。你的成绩也得累积一段时间，才会使你得到领导的赏识。

从努力到能力，到成绩，到赏识，是有一个过程的，有一个积分的效应。

但是，你会发现，生活中有很多人，在开始努力的第一天就会抱怨:“我今天这么努力，领导为什么不赏识我?”他忘了，想要得到领导的赏识，还需要一个积分的效应。

反过来说，有的人一直以来工作都做得很好，但是从某个时候开始，因为一些原因他慢慢懈怠了，努力程度下降了。但这个时候，他的能力并不会马上跟着下降，可能过了三四个月，能力的下降才会显示出来，他会发现做事情不像以前那么得心应手了。又过了三四个月，领导开始越来越看不上他做出来的东西了。在这一瞬间，很多人会觉得“有什么大不了的，我不过就是这一件事没做好呗”，但他忘了，这其实是一个积分效应，早在七八个月前他不努力的时候，就给这样的结果埋下了种子。

努力的时候，希望瞬间得到大家的认可;而出了问题后，即不去想几个月前的懈怠。这是很多人容易走进的思维误区。但如果你理解了微积分的思维方式，能够用动态的眼光

来看问题，你就会慢慢体会到，努力需要很长时间才会得到认可，你会因此拥有平衡的心态，避免犯这样的错误。

吴军老师经常讲一句话,“莫欺少年穷”。其实，从本质上来说，这也是微积分的思维方式。少年虽穷，目前积累的还很少，但是，只要他的增速(用数学语言来说，叫导数)够快，经过5年、10年，他的积累会非常丰厚。

吴军老师还给年轻人提过一个建议:不要在乎你的第一份薪水。这也是微积分的思维方式。一开始拿多少钱不重要重要的是增速(导数)。

从本质上来说，微积分的思维方式就是用动态的眼光看问题。一件事情的结果并不是瞬间产生的，而是长期以来的积累效应造成的。出了问题，不要只看当时那个瞬间，只有从宏观一直追溯(求导)到微观，才能找到问题的根源。

三、公理体系

第三种数学思维源于几何学，叫作公理体系。

在几何学中，一旦制定了不同的公理，就会得到完全不同的知识体系。这就是公理体系的思维。

这种思维在我们的生活中非常重要，比如，每家公司都有自己的愿景、使命、价值观，或者说公司基因、文化。因为愿景、使命、价值观不同，公司与公司之间的行为和决策差异就会很大。

一家公司的愿景、使命、价值观，就相当于这家公司的公理。公理直接决定了这家公司的各种行为往哪个方向发展。所有规章制度、工作流程、决策行为，都是在愿景、使命价值观这些公理上“生长”出来的定理，它们构成了这家公司的公理体系。

而这个体系一定是完全自洽的。什么叫完全自洽?这指的是，一家公司一旦有了完备的公理体系，就不需要老板来做决定了，因为公理能推导出所有的定理。不管公司以后如何发展，只要有公理存在，就会演绎出一套能够解决问题的新法则(定理)。

如果你发现你的公司每天都需要老板来做决定，或者公司的规章制度、工作流程、决策行为与公司的愿景、使命价值观不符，那么说明公司的公理还不完备，或者你的推导过程出现了问题。这时，你需要修修补补，将公司的公理体系一步步搭建起来。

四、数字方向性

数其实是有方向的，认识到这一点对我们的生活有什么用呢?

我举个例子。假如你拖着一个箱子往东走，你的力气很大，有30 牛顿。这时来了一个人，非要跟你对着干，把箱子往西拖，他力气没你大，只有 20 牛顿。结果如何呢?这个箱

子还是会跟着你往东走，不过只剩下 10 牛顿的力，它的速度会慢下来。

这就像在公司里做事，两个人都很有能力，合作的时候，如果他们的能力都能往一个方向使，形成合力，这是最好的结果。但如果他们的能力不往一个方向使，反而互相牵制，那可能还不如把这件事完全交给其中一个人来做。

还有一种情况:做同一件事情，有的人想往东走，有的人想往西走，有的人想往北走，而你并不知道哪个方向是正确的。这时，你想要的不是合力的大小，而是方向的相对正确性。那你该怎么办呢?

你就让他们都去干这件事吧。虽然大家的方向不同，彼此会互相牵制，力的大小也会有损耗，但是最终事情的走向会是相对正确的方向。

全局最优和达成共赢

第五种数学思维源于博弈论，叫作“全局最优和达成共赢”。

什么是博弈论?我们每天都要做大大小小的决策，比如，

今天是喝咖啡还是喝茶就是一个决策。但这个决策只跟自己

有关，并不会涉及别人。而在生活中，有一类决策涉及别人

的决策逻辑，我们把它叫作博弈论。

比如，下围棋就是典型的博弈。每走一步棋，我的所得

就是你的所失，我的所失就是你的所得。这是博弈论中典型

的零和博弈。

在零和博弈中，你要一直保持清醒:你要的是全局的最优解，而不是局部的最优解。

比如，围棋追求的不是每一步都要吃掉对方最多的子，

而是让终局所得最多。为此，你要步步为营，讲究策略，有时甚至需要通过让子来以退为进。

经营公司也是一样，不要总想着每件事情都必须一帆风顺，如果你想得到最好的结果，在一些关键步骤上就要做出妥协。

除了零和博弈，还有一种博弈，叫作非零和博弈。非零和博弈讲究共赢，共赢的前提是建立信任，但建立信任特别不容易。

假如市场上需要 100 万台冰箱，第一个厂家发现了这个需求，决定马上生产 100 万台。第二个厂家发现了这个需求，也决定马上生产 100 万台。第三个厂家也同样决定马上生产100万台……结果，每一个厂家都生产了100 万台，供大于求，这导致大部分厂家都遭受了很大的损失。

如果大家能够建立起信任，商量好 10 个厂家每个都只生产10万台，就正好能满足市场需求，每个厂家都能赚到钱，大家达成共赢。

但是，只要有一个厂家没有遵守约定，比如别人都生产了10万台，它却生产了 30 万台，就会导致大家都因此遭受损失。

建立信任，特别不容易，但在商业世界里，这是非常重要的。那么，怎么才能建立信任呢?

我给你两个建议。

第一，你要找到那些能够建立信任的伙伴。有些人你是永远都无法和他达成共赢的，这样的人你要远离。

第二，你要主动释放值得信任的信号。你要先让别人知道你是值得信任的人，这样想要与你达成共赢的人才会找到你。

这五种数学思维--从不确定性中找到确定性、用动态的眼光看问题、公理体系、数字的方向性，以及全局最优和达成共赢，我希望你能看懂，并且将其运用到你的工作和生活中。

我也希望能借此向你传达一个观念:数学不难，真的不难。你不一定要会解大部分数学题，不一定要能背下来所有的公式，也不一定要在数学考试中拿满分，但是你至少要训

练自己的数学思维。训练数学思维，是为了拥有符合规律的

思维方式。

孔子说:“三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲不逾矩。”所谓“从心所欲不逾矩”，不是说你要通过约束自己来让自己做的事情不越出边界，而是当你拥有符合规律的思维方式时，你做的事情根本就不会越出边界。

这就是从心所欲的自由。